Science

D’habitude, les Médailles Fields sont décernées pendant la cérémonie d’ouverture du Congrès international des mathématiques qui se réunit tous les quatre ans. En 2022, il était prévu que ce Congrès se réunisse à Saint-Pétersbourg. A cause de l’invasion de l’Ukraine par la Russie, le Comité exécutif de l’IMU a décidé de le tenir en ligne, tout en organisant la remise des prix en Finlande. L’ombre de la guerre était ainsi présente, et s’il est vrai que la remise de la Médaille à Maryna Viazovska a été accueillie avec des applaudissements exprimant la solidarité avec son pays d’origine, la décision de lui attribuer cette récompense n’est certainement pas d’ordre politique. Pour s’en convaincre il suffit de rappeler que la mathématicienne ukrainienne comptait déjà parmi les finalistes de la compétition en 2018, deux ans après la démonstration de son résultat majeur.

Viazovska a trouvé une «fonction magique»

Il est toujours réducteur de résumer le travail d’une chercheuse à un seul résultat, mais celui démontré par Maryna Viazovska était attendu par une large communauté, laquelle avait en quelque sorte préparé le terrain, tout en ne réussissant pas à compléter le travail entamé. De fait, par un tour de force calculatoire, guidé par une intuition très ferme, Maryna Viazovska a réussi à démontrer l’existence d’une fonction ayant des propriétés très particulières, ce qui, par les travaux préliminaires mentionnés, implique le résultat géométrique attendu. Vu le caractère mystérieux et fuyant de la fonction que la mathématicienne a construite, les chercheurs l’ont appelée «magique». Nous ne pouvons pas décrire la «fonction magique» dans cet article, mais essayons de donner une idée du problème géométrique résolu.

L’hypothèse de Kepler

En 1611, l’astronome allemand Johannes Kepler a formulé l’hypothèse que la manière bien connue d’empiler des oranges, où des boulets de canons, avait la propriété d’optimiser la densité de l’empilement. C’est-à-dire qu’en les empilant ainsi on laisse le moins d’espace libre entre les fruits. Cette question est typique de l’approche de Kepler, lequel observait ce qui nous est donné et cherchait à en comprendre les raisons. Il s’était ainsi également interrogé sur la raison du nombre de planètes observées, pourquoi elles étaient aux distances mesurées, etc. Kepler faisait souvent appel à des explications d’ordre géométrique. Notons que l’hypothèse de Kepler n’a été démontrée qu’à la fin du XXe siècle, avec l’aide d’ordinateurs, ce qui n’est pas le cas de la démonstration de Maryna Viazovska.

Que se passe-t-il en dimension supérieure à trois?

En mathématiques, il est courant que lorsqu’une question peut être généralisée… on la généralise. Ainsi, l’hypothèse de Kepler porte sur une configuration particulière de sphères (les oranges) dans un espace à trois dimensions (notre espace usuel). Or, on peut définir des espaces à un nombre de dimensions arbitraires. Par exemple, l’espace-temps de la physique a quatre dimensions: trois dimensions spatiales et une dimension temporelle. Dans ces espaces on définit la distance entre deux points de manière assez simple, et on peut donc aussi y définir les sphères, comme les ensembles de points à une distance donnée (le rayon) d’un point fixé (le centre). On peut alors se demander quelles sont les configurations de sphères qui ont densité maximale (dans ces espaces de dimension supérieure). Depuis 2003, on pensait connaître les configurations de sphères qui donnent une densité maximale, dans les espaces de dimension 8 et 24. Cette année-là est paru un article qui réduisait la démonstration de ce que ces configurations sont les plus denses à la construction d’une fonction très spéciale: une «fonction magique».

Ne pas faire sa recherche dans une cave

Le mathématicien britannique Bryan Birch observait que si on se limite à faire des recherches dans une cave, on ne trouvera jamais la lumière du jour. Il voulait dire que si on souhaite obtenir des résultats intéressants, il faut oser s’attaquer à des problèmes réputés importants et difficiles. Pendant qu’elle terminait sa thèse, Maryna Viazovska a commencé la recherche des «fonctions magiques», en collaboration avec deux autres mathématiciens ukrainiens, en compagnie desquels elle avait déjà obtenu, en 2011, un résultat suffisamment important pour être publié dans une des revues les plus prestigieuses au monde. Ses co-auteurs ont ensuite préféré se tourner vers d’autres questions tandis que Maryna Viazovska persévérait dans son effort. Il s’est agi d’une prise de risque, car d’autres mathématiciens brillants essayaient également d’obtenir le résultat sur lequel elle avait décidé de travailler.

Des années de formation

La mathématicienne ukrainienne avait de bonnes raisons d’avoir confiance en sa capacité à résoudre le problème posé. A posteriori on peut même dire que sa formation l’a préparée exactement à ça. Au lycée, à Kiev, elle a suivi des ateliers organisés par deux professeurs dévoués, qui réunissaient deux fois par semaine des élèves motivés, l’un sur des thèmes de mathématiques, l’autre sur des thèmes de physique. Maryna Viazovska a régulièrement participé aux Olympiades de mathématiques. Ainsi, elle a appris à découvrir des méthodes pour résoudre des problèmes, plutôt que de plus banalement appliquer des méthodes apprises en classe. Elle a également acquis confiance et détermination. Après un Bachelor obtenu à Kiev, elle a fait un Master à Kaiserslautern, en Allemagne, puis, en 2013, une thèse de doctorat à Bonn. Celle-ci portait sur un sujet − les formes modulaires − qui s’avère crucial pour la construction des «fonctions magiques», tout autant que l’expertise acquise avec le travail de 2011 (sur les designs sphériques). Il lui faudra quand même deux ans d’efforts pour trouver la «fonction magique».

A quoi ça sert?

On pourrait se demander pourquoi déployer tant d’efforts pour démontrer un résultat dont on ne voit pas tout de suite l’utilité pratique. Il y a plusieurs réponses à cette question. Tout d’abord, il y a bel et bien une utilité pratique de ce genre de résultats, qui sont étroitement liés à la théorie des codes correcteurs d’erreurs, d’un usage fondamental pour la transmission fidèle d’informations à travers un canal imparfait. Ensuite, les méthodes employées vont servir à résoudre d’autres problèmes dans des domaines mathématiques voisins. Et puis, comme le travail de Kepler lui-même l’a montré, une théorie abstraite peut être indispensable à la compréhension de phénomènes physiques, même si cela n’est pas immédiatement clair. Ainsi, en élaborant le travail des quelques meilleurs mathématiciens grecs en 1604, Kepler fait une étude approfondie des courbes coniques, à savoir celles que l’on obtient en coupant un faisceau (conique) de lumière avec un papier. Cinq ans plus tard, en analysant les observations de l’orbite de Mars, Kepler parvint à formuler que celle-ci suit le tracé d’une ellipse, une des courbes qu’il venait d’étudier abstraitement. Maryna Viazovska nous a dit qu’aucune raison d’ordre pratique pourrait la motiver dans son travail. Pour elle, c’est un devoir éthique que d’essayer de comprendre ce qui nous est donné. En cela, elle est proche de Kepler.

Heureuse d’être en Suisse

Maryna Viazovska a quitté son pays d’origine relativement jeune, mais elle s’en sent toujours très proche. Ses deux parents y habitent encore. Récemment, les élèves du lycée qui suivaient les ateliers de physique ont fêté à distance les 80 ans de leur professeur. Pour la plupart, ils ne sont pas en Ukraine, et il pense que c’est une chance que leur pays puisse être connu pour exporter autre chose que du blé. Maryna Viazovska est à l’EPFL depuis 2017, il y a été promue professeure ordinaire en 2018. Sa situation actuelle lui convient très bien, et même si elle sent une grosse responsabilité à porter une Médaille Fields, elle n’envisage pas de changer sa manière d’opérer. Elle compte donc rester en Suisse, où elle pense pouvoir continuer à bénéficier du soutien qu’elle a reçu, malgré les problèmes liés à l’interruption des discussions entre la Suisse et l’Union européenne sur l’accord cadre. Elle n’a pas besoin de beaucoup: son équipe de recherche, composée de trois doctorants et de trois post-doctorants, a la bonne taille pour pouvoir poursuivre, avec simplicité et résolution, un travail de très haut niveau.